如何比较定积分的大小：四种实用方法

如何比较定积分的大小，优先使用单调性比较法、估值不等式法、变上限积分求导法、计算结果对比法，单调性比较法适合积分上下限相同、被积函数连续的场景，估值法适合被积函数难以求原函数的积分，变上限求导多用于含参数积分的大小判定，直接计算法适合原函数容易求出的简单积分；这套方法的适用边界是积分区间为有限闭区间，区间无无穷间断点，出现无穷间断点的反常积分不能直接套用函数大小推积分大小的结论，比如在区间内存在趋向无穷的被积函数时，函数大的积分值不一定更大。

如何比较定积分的大小：单调性比较法

积分上下限a、b保持不变且a小于b时，若在区间[a,b]上连续函数f(x)恒大于等于g(x)，同时至少存在一个点使得f(x)严格大于g(x)，就能得到f(x)在[a,b]上的定积分严格大于g(x)在[a,b]上的定积分。你拿到两道待比较的定积分，先确认上下限一致，再构造两个被积函数的差函数，判断差函数在区间内的正负，差函数恒正，前面积分就更大。如果积分上下限相反，要先交换上下限并给积分添加负号，再做大小对比，很多人跳过这一步，直接对比函数大小，最后得到相反结论。

上下限不同时，不能直接对比被积函数。

如何比较定积分的大小：估值不等式法

先求出被积函数在积分区间上的最大值M和最小值m，根据定积分估值不等式，m乘以区间长度小于等于该定积分，该定积分小于等于M乘以区间长度。你算出两个积分各自的估值区间后，若一个积分估值区间的上界小于另一个积分估值区间的下界，就能直接判定大小；如果两个估值区间互相重叠，这个方法就失效，需要切换成别的手段。这个方法适合被积函数原函数复杂，换元、分部积分都很难算出结果的题型，常见于三角函数、指数函数混合的定积分。

如何比较定积分的大小：变上限积分求导法

待比较积分带有变量参数，积分上限或者下限是x的时候，把两个定积分构造成辅助函数F(x)，对F(x)求导，依靠导数正负判断F(x)单调增减，再代入参数的取值端点，借助端点函数值判断积分的大小关系。导数大于0，辅助函数单调递增，自变量越大，对应的积分差值越大；导数小于0，辅助函数单调递减。这个思路多用于选择题里带参数的积分比较，不需要算出积分具体数值，只分析单调性即可完成判断。

如何比较定积分的大小：直接计算法

求出被积函数的原函数，代入牛顿-莱布尼茨公式算出定积分精确数值，依靠数值直接比大小。换元积分、分部积分、基本积分公式都可以用来求原函数，这个方法逻辑简单，出错点集中在换元后同步修改积分上下限，以及分部积分符号处理上。当原函数表达式繁琐，或者原函数不属于初等函数，比如e的x平方次方这类函数，就不要强行计算，改用前面的比较方法。

反常积分存在无穷间断点时，函数大小关系不能传递给积分。举个例子，区间(0,1]上，1/x大于1/√x，但1/x在0到1上的反常积分发散，1/√x的反常积分收敛，函数更大的积分不存在有限值，不能判定它更大。

多个积分放在一起排序时，优先先统一积分区间，换元操作可以把不同上下限的积分转为同区间形式，换元完成后再用单调性做一轮筛选，先分出明显大小，剩下难以区分的再用估值或者求导辅助判断。

做题时优先试单调性比较法，它的计算量通常最小，试完不成立，再依次尝试估值、变上限求导，最后才考虑完整计算积分值。