如何求两个平面的交线：两种主流解法

如何求两个平面的交线，核心思路是找到交线上两个不重合的点，两点连线即为交线，常用联立方程找点法、方向向量法，联立方程找点法适合纸面笔算、高中与大学解析几何常规答题，方向向量法更适合向量基础扎实、需要同步写出交线参数方程的场景，该方法不适用于两平面平行、重合的情况，两平面平行时无交线，重合时有无穷多条交线，无法得到唯一直线。

如何求两个平面的交线：联立方程找点法

你先写出两个平面的一般式方程，平面α：A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0，平面β：A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0，两个方程构成方程组，这个方程组的全部解就是交线上所有点的坐标。这个方程组有三个未知数、两个方程，不能直接解出唯一坐标，你可以自主固定其中一个变量的数值，代入方程组求解剩下两个变量，就能算出交线上一个定点。

固定变量优先选择系数简单的变量，优先固定x=0或者y=0，避开系数为0带来的无解问题。算出第一个点之后，再换一个变量赋值，求出第二个不一样的点，有两个点坐标，就可以写出直线的两点式方程，也可以转化为对称式方程。

算完两点，检验很关键。把两个点的坐标依次代回原来两个平面方程，两个方程都成立，才说明点落在两个平面上，属于交线上的点。

如何求两个平面的交线：方向向量法

交线的方向向量同时垂直于两个平面的法向量，你直接把两个平面法向量做向量叉乘，得到的结果就是交线方向向量s。平面α法向量n₁=(A₁,B₁,C₁)，平面β法向量n₂=(A₂,B₂,C₂)，s=n₁×n₂，叉乘计算结果为(B₁C₂−B₂C₁,C₁A₂−C₂A₁,A₁B₂−A₂B₁)。

拿到方向向量之后，再用联立方程找点法求出交线上任意一个定点M₀(x₀,y₀,z₀)，定点搭配方向向量，直接写出交线的对称式方程，也就是(x−x₀)/sₓ=(y−y₀)/sᵧ=(z−z₀)/s_z，这个形式在立体几何大题、空间曲面求交的习题里使用较多。

判断两平面有没有交线，看两个法向量是不是成比例。n₁和n₂分量对应成比例，两平面平行，不存在交线；不成比例，两平面相交，存在唯一一条交线。

举一个典型反例，平面x+y+z=1与平面2x+2y+2z=3，法向量(1,1,1)和(2,2,2)成比例，两平面平行，强行联立方程不会得到有效点，不会得到交线。

方向向量为零向量时，代表法向量共线，也就是平面平行，此时停止计算，不要继续找点。