cos2a等于什么公式：三组常用形式

cos2a等于什么公式一共有三组等价表达式，分别是cos²a−sin²a、2cos²a−1、1−2sin²a，三组公式都由两角和余弦公式cos(α+β)推导而来，你在三角函数求值、化简、证明、解三角方程时可以按需选用，优先选择式子里面已知三角函数对应的形式，比如已知cosa就用2cos²a−1，已知sina就用1−2sin²a，已知sina和cosa都有就用cos²a−sin²a，该组公式适用于全体实数角度a，在高中人教A版三角函数章节中作为二倍角核心公式，角度单位统一使用弧度制或者角度制都成立，只需要前后计算保持单位一致，不能混用两种单位进行运算。

cos2a公式推导来源

两角和余弦基础公式为cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，把β替换成α，就得到cos(α+α)=cosαcosα−sinαsinα，也就是cos2a=cos²a−sin²a，这是原始形式，另外两组变形依靠平方恒等式sin²a+cos²a=1完成替换，用1−sin²a替换原式里的cos²a，得到cos2a=2cos²a−1，用1−cos²a替换原式里的sin²a，得到cos2a=1−2sin²a，推导过程没有额外限制，和母公式定义域保持一致。

不要直接把cos2a当成2cosa，这是高频错误，2cosa代表cosa数值的两倍，cos2a代表角度2a的余弦，二者计算结果一般不相等，比如a=30°时，cos2a=cos60°=0.5，2cosa=2cos30°≈1.732，数值差异明显。

cos2a公式选用对比

降幂公式就是从cos2a的两组变形反向改写得到，cos²a=(1+cos2a)/2，sin²a=(1−cos2a)/2，这两个衍生式子在积分、三角化简大题里使用频率很高，属于配套工具。

cos2a代入计算示例

已知sina=1/3，a在第二象限，求cos2a，直接选用cos2a=1−2sin²a，代入后得到1−2×(1/3)²=1−2/9=7/9，这个计算不需要额外求cosa，省去判断符号的步骤，计算速度更快；如果题目给的是cosa=−1/2，就用2cos²a−1，算出结果为2×(1/4)−1=−1/2。

符号判断只需要看2a所在象限，不是看a的象限，a的象限只能判断sina、cosa正负，不能直接决定cos2a正负，比如a=120°属于第二象限，2a=240°在第三象限，cos2a为负数。

定义域为全体实数。

你在处理三角图像、周期问题时，cos2a的周期是π，区别于cosa的周期2π，这是二倍变换带来的变化，选择公式的时候不用考虑周期，周期只用来分析函数图像性质。

在竞赛拓展里，cos2a还可以和正切组合写成(1−tan²a)/(1+tan²a)，这个形式仅在tana有定义，也就是a≠π/2+kπ的时候才能使用，定义域范围比另外三组公式窄，常规高中考题优先使用前面三组。