不定积分的导数怎么求：两类基础公式
不定积分的导数怎么求，核心分为不含变上限与含变上限积分两种情况，普通不定积分∫f(x)dx的导数直接等于被积函数f(x)，变上限积分求导需要额外对积分上限函数求导，适用场景为高等数学一元微积分的计算，该规则只针对可导、连续的被积函数，被积函数存在间断点时不能直接套用，你拿到题目先区分积分上限是常数还是关于x的函数，再选择对应公式。
不定积分基础求导公式
∫f(x)dx本身代表f(x)的全部原函数集合，原函数和不定积分之间存在互逆运算，对不定积分直接求导，常数C的导数为0，不会影响最终结果。计算时你只需要把积分符号去掉，直接取出里面的被积函数。举个例子，∫2xdx求导，结果就是2x，不用额外增加常数项，很多学习者会在这里误加上常数C，常数求导归零，写C会造成答案错误。
这是微积分基本定理的直接推论。
变上限不定积分求导运算
当积分上限不是固定常数，而是关于自变量x的函数φ(x)，表达式写作∫aφ(x)f(t)dt，求导时需要使用复合函数链式法则，导数等于f[φ(x)]乘以φ’(x)。积分变量使用t是哑变量，和自变量x相互独立，不能直接把t替换成x而忽略上限求导。如果积分下限也是函数，你可以拆成两个积分相减，再分别求导，即∫ψ(x)φ(x)f(t)dt的导数等于f[φ(x)]·φ’(x)-f[ψ(x)]·ψ’(x)。
| 积分形式 | 求导结果 | 适用条件 |
|---|---|---|
| ∫f(x)dx | f(x) | f(x)在区间连续 |
| ∫aφ(x)f(t)dt | f[φ(x)]·φ’(x) | f连续，φ(x)可导 |
| ∫ψ(x)φ(x)f(t)dt | f[φ(x)]φ’(x)-f[ψ(x)]ψ’(x) | f连续，φ、ψ均可导 |
区分普通不定积分和变上限积分是解题关键，普通不定积分没有上下限，变上限积分带有积分上下限，二者公式不能混用。你审题第一步先观察积分式有没有写上下限，没有上下限就用基础公式，带有变量上下限就用链式法则。
被积函数里混有x的时候，不能直接套用公式，比如∫0xx·f(t)dt，x不属于积分变量，要先把x提到积分号外面，再使用乘积求导法则计算，直接带入替换变量会算出错误结果。
该方法的适用边界是被积函数在积分区间上连续。如果被积函数在积分区间内存在第一类间断点，微积分基本定理不再生效，不能直接使用这套求导公式，需要分段处理，单独验证原函数是否存在。
- 无上下限不定积分求导，直接取被积函数
- 变上限积分求导，必须搭配链式法则
- 积分式内部含有自变量x，优先分离变量再求导
- 间断点区间，不能直接使用求导公式
你可以直接套用表格内的形式对照题目，把题目式子匹配到对应的类型，代入式子完成导数计算，计算结束后检查是否遗漏上限或者下限的导数项。
