如何求多边形的对角线：用顶点数代入公式直接计算

刚学几何那会，最头疼的就是如何求多边形的对角线，每次做题都傻乎乎对着图形一笔笔画，数到最后要么多数要么少数，白白丢分还浪费大把做题的时间。

最开始完全没章法，不管是五边形、六边形还是八边形，全都拿着笔挨个顶点连线，手动剔除掉多边形的边，本来一道简单的填空题，硬生生要花三四分钟，遇到边数多的多边形更是直接乱套。上次月考考了十边形对角线数量，蹲在草稿纸上连了密密麻麻的线，眼睛都看花了，最后算出来的数字和标准答案差了快十个，考完还一直纳闷明明自己每条线都数到了，怎么还是错的。现在回头想，纯手动计数本身就自带误差，边数越多，出错的概率就越大，根本不适合用来解题，纯属费力不讨好的笨办法。

那时候压根不知道还有计算公式。

班里同学都在快速刷题的时候，我还在死磕笨办法，看着别人几秒算出答案，心里又急又烦躁，总觉得是自己观察力不够，数的不够仔细。之后每次练习都刻意放慢速度数对角线，一点点核对每条线条，结果不仅做题速度完全跟不上课堂节奏，正确率也半点没提升，越练越抵触这类题型，甚至看到多边形的题目就下意识不想动笔。

折腾好久才搞明白，数对角线根本不用肉眼画、手动数，所有多边形对角线数量都能靠固定公式算出来，完全不用依赖图形，不管规则不规则的凸多边形都适用。

通用公式就是n(n-3)/2，这里的n就是多边形的边数，同时也是顶点数。后来才反应过来为什么公式里要减3，每个顶点本身能和其他所有顶点产生连线，一共n个顶点，先要减去自身这一个顶点，再减去左右两个紧紧相邻的顶点，这两个相邻点的连线是多边形的边，不是对角线，剩下能连的有效线条才是对角线，这也是公式最核心的逻辑，弄懂这个就不会死记硬背记错公式。

之前踩过最蠢的坑，就是习惯性忘记除以2，每次算出n(n-3)的结果就直接填答案，次次出错。后来慢慢发现，每两个顶点之间的对角线会被双向重复计算一次，比如A点连B点、B点连A点算成了两条，实际上只是一条对角线，所以必须整体除以二，剔除掉重复计算的数值。

随便拿常见的多边形验证都没问题，五边形代入公式，n取5，就是5×(5-3)÷2，算出来等于5，和实际画图数出来的数量一模一样。六边形就是6×3÷2=9，八边形代入就是8×5÷2=20，次次精准，不用画图不用数数，几秒就能出结果，哪怕是几十边的多边形也能快速算出数值，比手动数靠谱百倍。

收拾草稿纸的时候，看着上面密密麻麻画废的多边形线条，随手揉成一团丢进了桌角的纸篓里。