如何判断微分方程是不是线性：看未知函数及导数为一次且无复合乘积

上次高数刷题卡了大半节课，死死纠结如何判断微分方程是不是线性，对着一堆长短不一的公式越看越迷糊，凭感觉瞎判断，结果五道判断题错了四道，卷面红叉看得人头疼。

最开始一直陷在低级误区里，默认式子里面有平方、根号、三角函数，就一定是非线性微分方程。刷题碰到y'+x^2y=0，想都没想直接判定非线性，自信落笔，对答案的时候才发现完全判反了，白白丢了基础分。

真的白丢两分。

折腾好久才搞明白，微分方程的线性判定，从头到尾都和自变量x没有任何关系，所有判断标准只针对未知函数y，以及y的各阶导数，这是我当初完全搞混的核心点。之前总把式子中所有的运算项混为一谈，分不清自变量和未知函数的区别，把x的高次项、三角函数项全部当成了判定依据，这才是反复出错的根源。不管x是一次、二次、三次，还是sinx、lnx、1/x这类变形，哪怕式子里面x的运算再复杂，都不会改变方程的线性属性，真正需要盯紧的只有y、y’、y''这些核心未知量。

很多人包括我当初，还会踩第二个致命的坑，分不清自变量乘积和未知函数乘积的区别。

区别全在主体上。

之前遇到xy'+y=2x，看到x和y’乘在一起，就下意识判定非线性，结果又是错的。后来逐题复盘错题才理清，线性方程禁止的是未知函数之间、未知函数与自身导数的乘积、次方、复合运算，绝不禁止自变量和未知函数的结合。像y^2、y\cdot y'、siny、lny这些形式，只要出现在方程里，直接判定非线性，没有任何例外，因为这是对未知函数的二次运算和复合变换。

上周随堂测验还有一道题，彻底把这个判定逻辑钉死在了脑子里。题目是y''+sinx\cdot y=cosx，当时犹豫了很久，总觉得带三角函数的方程不可能是线性，最终还是选错了。老师当堂讲解的时候特意强调，这里的sinx是自变量的函数，不属于未知函数y的变换，y在这里只是一次单项式，没有次方、没有乘积、没有复合，所以这是标准的二阶线性非齐次微分方程。

其实判定流程特别简单，根本不用纠结复杂的公式变形，不用死记课本冗长的定义。拿到任意一个微分方程，直接屏蔽掉所有含x的项、常数项，只单独观察未知函数和它的导数。只要所有y、y的各阶导数都是一次整式，互相之间没有相乘、没有次方、没有嵌套复合，就是线性微分方程。但凡出现一点未知函数的二次及以上运算、复合运算，直接判定非线性就行。

那天晚自习改完所有错题，草稿纸上密密麻麻全是我圈出来的未知函数项。